前回の問題の話の続きで工夫した解答を考えてみました。
[問題]pを0＜p＜1を満たす実数とする。
(1)四面体ABCDの各辺はそれぞれ確率pで電気を通すものとする。
このとき、頂点AからBに電流が流れる確率を求めよ。
ただし、各辺が電流を通すか通さないかは独立で、辺以外は電流を通さないものとする。
[解答・解説]
四面体の辺の結び目とかの構造は上図のようにAとBを頂点とするダイヤ型とそのAとBに横から長い紐で結んだ構造と同じです。
ダイヤ型を経由してAからBへ電流が通る事象をX
右の長い紐を電流が通る事象をY
とすると求める確率は
P(Y)+P(X∩Y~)=p+(1-p)P(X)
(Y~はYの余事象)
で事象Xは
①または②どちらかを少なくも通る事象X1と
右を通って間を通って左を通る事象X2と
左を通って間を通って右を通る事象X3
の三つにわけられてこれられは全て排反事象であるから
P(X)=P(X1∪X2∪X3)
=P(X1)+P(X2)+P(X3)
で
まずX1ですが、①を電流が流れる確率はp^2だから、反対に流れないのはその余事象を考えて1-p^2で、
①と②両方とも流れない確率はP(X1~)=(1-p^2)^2よって余事象を考えてX1の確率は
P(X1)=1-P(X1~)=1-(1-p^2)^2
また
P(X2)=P(X3)=(1-p)^3p^3
よって
P=p+(1-p)(P(X1)+P(X2)+P(X3))
=p+(1-p){1-(1-p^2)^2+2(1-p)^3p^3}
=-2p^6+7p^5-7p^4+2p^2+p
こうやると、なんでそんなにややこしいことしてたのかって思いますね。
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