最近、身も心も奪われたのでひさしぶりの数学の記事です。
大学院生の厳しい目が光ってるから書くの恐いと言う説もありますが。
間違ってはないけどな～んか…もたもたしてる
って二人同時に言われると言うセミナーの恐怖がよみがえります。
今回は、2007年度の京大文系の問題です。
[問題]
3次関数
y=x^3 - 2x^2 - x + 2
のグラフ上の点(1.0)における接線をlとする。
この3次関数のグラフと接線lで囲まれた部分をx軸の周りに回転して立体を作る。
その立体の体積を求めよ。
[解答・解説]
回転体の体積を求めよって数学IIの範囲じゃなくて数学IIIのような気がします。
ちょっとその辺はオレみたいな昭和の男にはようわからん。
まずは問題を解いてから、最後に体積の求めかたの説明らしきことを書いておきます。
理系ならよくやる典型的な問題ですが、やっぱり文系で出されるとこに辛さがあると思います。
いつもはとにかく図を描け！って先生の真似して何回も同じこと書いてますが、グラフがどんな感じかわからないのでその辺を調べてから描いてみます。
3次関数は微分を使って本来は、調べるかもしれませんが特にこの問題は極値とか調べる必要無いし因数分解が出来るからx軸との交点がわかります。
そして微分して接線を求めます。
複数の関数があると交点とか調べてみましょう。
接線の場合は、接点のx座標になる因子が二乗になってくくりだせるから簡単に求まります。
これでグラフはかけました。
なんか写真で田中さんがx軸をうへ～って回転させてますが、赤線の領域を回転させた図を考えます。
ちょうど、曲線を回転させた立体図形から円錐をとりのぞいた立体図形になります。
だから、３次間数の曲線の回転体から円錐を取り除くことで求めます。
円錐の体積はさすがに簡単に求まると思います。
回転体の体積はπf(x)^2を積分します。
そのx軸の体積はあれやから。
なんか意味わからんこと言うてますね。
えっと、体積の主な求めかたは断面を考えてその断面積を断面に垂直な軸で積分すれば求まります。
この問題の場合、x=t (0≦t≦1)で切った断面図はx=tでの3次関数の値f(t)を半径にした円になります。
だから断面積はπft)^2です。
これをx軸に沿って、0から1まで積分すれば求まります。
ただ結構計算は京大の問題にしてはややこしいです。
まあ落ち着いて計算したってください。
こんな絶対点がとれるとこはだらだら計算せずに一気に集中して確実に計算して点をとらな、もったいないしな。
それで、これが答えじゃなくてちゃんと最後に円錐の体積をひいてください。
最初に言った体積の話でかなり直感的な説明になりますが、
断面積を垂直な軸に積分すれば体積になります。
それはこの問題の立体図形を使って説明すると、ガー！って方眼紙の３Dバージョンみたいに線を入れていきます。
線の間隔はバラバラでいいんですが、高校生なら等間隔と考えた方がわかりやすいと思います。
それでその立体図形が含まれてる、直方体をとりだします。
なんかレゴっておもちゃありますやん。
ぐにゃぐにゃな立体図形をレゴ化してるみたいな感じです。
そのレゴ化した体積は直方体の集まりで簡単に求まります。
それを直方体を限りなく小さ～くしていくと、どんどんカクカクがなくなっていって元の
立体図形の体積になります。
まあそれはわかるけど、それでどうやって求めるねんって話ですね。
そこでだいたい普通の立体図形であればxやyやz軸に刻まれた線の間隔を小さくする順番をかえてよくて、
x軸の線の間隔は置いておいてyz平面の線の間隔を小さ～くしていきます。
するとx軸に刻まれた線を通るx軸に垂直な平面で元の立体図形を切った断面を底辺としたx軸方向にはx軸に平行に伸びる物体がダルマ落としみたいに重なっていきます。
後は、このx軸の線の間隔をちいさ～くしていけば元の立体図形になります。
だからグラフを積分したら面積が出る説明で短冊を小さ～くしていったら元のグラフになるのと同じように考えて、断面積を垂直な軸に積分すれば体積になります。
高校数学の問題と解説
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