今日はいい天気になって、すっかりいい天気になったな。
東京大学2016年度理系第四問の複素数平面の問題を解説します。
よろしくお願いします。
[問題]
zを複素数とする。複素数平面上の3点A(1),B(z),C(z^2)が鋭角三角形をなすようなzの範囲を求め、図示せよ。
[解答と解説]
鋭角三角形と言うことは、まず点が重なってはいけないから
z≠±1,0
やな。
それはいいとして鋭角やな。
生きてる中で鋭角について深く考えることがあまりないからな。
どの角度が一番大きいか考えたりとか、∠BACにしても→ABと→ACどっちの偏角の方が大きいかとか考えて…
チーン…
ありがとうございました。
となります。
ちょっと、待ってな
チーン…
ちょっと、あっちの世界に行ってたところでそれを現実世界にフィードバックするときがきたようや。
そこで全部90度より小さければええねんけど、それをargの式であらわすには-90°から90°の間ってやるとガバガバやけど式として扱いやすやろな。
例えば3点X(α),Y(β),W(γ)なら∠XYW=|arg((α-β)/(γ-β))|で式をたてていって
|arg((z^2-z)/(1-z))|＜90°かつ|arg((z-z^2)/(1-z^2))|＜90°かつ|arg((z^2-1)/(z-1))|＜90°
これを計算すると1-zで約分されるから
|arg(-z)|＜90°かつ|arg(z/(1+z))|＜90°かつ|arg(z+1)|＜90°
後はこれは単に実部が正ってことやから
実部は(z+z~)/2やな
-z+(-z)~＞0
z/(1+z)+(z/(1+z))~＞0
z+1+(z+1)~＞0
これを整理していくと
-2＜z+z~＜0
2|z|^2+z+z~＞0
これは直線と円の式やし、このままzで整理してもええねんけど
複素数平面の式に慣れてない人もいるし、不等式やし、ここは単純にx+yiで整理しておこか。
意外とx+yiでごり押し計算でいけることも多くて、上手くやるよりもごり押しでやることは重要やからな。
すると
-1＜x＜0
(x+1/2)^2+y^2＞1/4
境界は除く
こうやると、かなり簡単やな
簡単やねんけど、自分でイメージコーディネートをしなあかんってなるとそこが難しいんかもしれん。
式で責めたけど後は図形的にもよくやるし、図形的にやる選択肢も重要ねんけどな。
ただこの問題については、
argの計算のところでz-1で約分できて
点P(z),D(-1),(0)の三点で出来る三角形が鋭角であればよいって整理できるから
本質的には式の計算になるとこやな。
後は∠POD＜90°からは∠PODが垂直になるx=0上の点より左側の＜0にあればよいし
∠OPD＜90°からはODを直径とする円のよりも外側にあればよいし
∠PDO＜90°からは∠PDOが垂直になるx=-1上の点より右側にあればよいから
全部満たしてる領域を塗り塗りしたらいけるわ。
東京大学の入試の数学の過去問の解説
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