みゃあにゃああう
東京大学2016年度文系第1問、図形と式の問題の解説をします。
その前に、始まり方どういう意味やねん。
[問題]
座標平面上の3点P(x,y),Q(-x,-y),R(1,0)が鋭角三角形をなすための(x,y)についての条件を求めよ。また、その条件をみたす点(x,y)の範囲を図示せよ。
[解答と解説]
まずは鋭角をどのように処理をすればよいかやな。
余弦定理を使うのが基本的なやり方になるやろうな。
cosが正になればくなるやろ。
そうすると、分母は正やから分子のところが正なればええねん。
∠ABCが鋭角
⇔
BA^2+BC^2-AB^2＞0
ってことやな。
そしたら、どの角度が鋭角になればええんか
一緒に図を書いて考えてみよか
PとRがy=x上にあって、原点対称の位置やな。
伸ばしていったらQのところが大きくなるな。
縮めていくとPとRが大きくなっていくな。
大きいところが90°より小さくなればええやろ。
伸ばして、縮めて、伸ばして、縮めて…
ってやってると
それはちょっと違うやろってことになります。
頑張ったらできるんかもしれんけどな。
そこでこの論法を考えてくれ
角の最大値を考えて、それが90°より小さいと考えるんじゃなくて
全部90°より小さかったらいいって考えるねん。
もちろん問題によるねんけどな。
それで座標やから余弦定理より、内積を使ったら方が便利やろな。
数学的には同じことやねんけど。
∠ABCが鋭角⇔ BA→・BC→＞0
これやな
そしたら解いていくと
∠RPQが鋭角⇔PR→・PQ→＞0
⇔(1-x,-y)・(-2x,-2y)＞0
⇔(x-1/2)^2+y^2＞1/4…①
∠PQRが鋭角⇔QP→・QR→＞0
⇔(-2x,-2y)・(1+x,y)＞0
⇔(x+1/2)^2+y^2＞1/4…②
②はPとQが原点対称やから、①でxを-xにyを-yに置き換えて導いてもええやろな、
∠QRPが鋭角⇔RP→・RQ→＞0
⇔(x-1,y)・(-x-1,-y)＞0
⇔x^2+y^2＞1…③
これで①,②,③を図示したらええわ。
東京大学の入試の数学の過去問の解説
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