今日もスヌーピーのご加護のもと東京大学2014年度理系第6問軌跡の問題の解説をします。
[問題]
座標平面の原点をOで表す。
線分y=(√3)x (0≦x≦2)上の点Pと、線分y=(-√3)x(-2≦x≦0)上の点Qが、線分OPと線分OQの長さの和が6となるように動く。このとき、線分PQの通貨する領域をDとする。
(1)sを0≦s≦2をみたす実数とするとき点(s,t)がDに入るようなtの範囲を求めよ、
(2)Dを図示せよ。
[解答と解説]
(1)
まずはP(p,(√3)p),Q(q,(-√3)q)とおけるな。
それでOP+OQ=6やろ。
これで2p-2q=6やから、p-q=3ですね。
と言うことで直線PQは
y=(√3)((p+q)/(p-q))(x-p)+√3p
=((2p-3)x-2p(p-3))/√3
傾きが(2p-3)/√3,切片-2p(p-3)/√3みたいやな
p=1のときはy=-(1/√3)x+4/√3
p=2のときはy=(1/√3)x+4/√3
p=0のときはy=-(√3)x
ってy=(√3)x上に指をそっと置いてPをツー…ってだんだん奥に向かってじゃなくて、Oに向かってなぞっていったら-2≦q≦0やのにp=0でq=-3やから
途中で
ガっ！って止まるねん。
だから今度はy=(-√3)x上に指をそっと置いてQをツー…ガっ！
って何回も何回もやっていたら
終らないパーティーがはじまります。
どういうことやねん。
こうやって軌跡の問題具体的に入れていっても、難しいことが多いねんな。
そこで三つやり方を紹介しようか。
１、だから僕は独立変数と従属変数にわけて同値変形して文字を消去する。(逆像法、逆手流のこと)
２、文字固定
３、接線を考える
1からやりますね。
まずは条件を全て式に表すねん。
P(p,(√3)p),Q(-q,(√3)q)とおいて
0≦p≦2,0≦q≦2
OP+OQ=6よ2p+2q=6⇔p+q=3
線分PQ:y=((√3)p-(√3)q)/(p-(-q))・(x-p)+(√3)p
-q≦x≦p
これで条件を羅列して
p+q=3
t=√3(p-q)/(p+q)・(s-p)+(√3)p
0≦p≦2,0≦q≦2
-q≦s≦p
0≦s≦2
これからp+q=3を使ってq=3-pを全部に代入して同値変形してq消去やな
q=3-p
t=((2p-3)s+2p(3-p))/√3
0≦p≦2,0≦3-p≦2
-(3-p)≦s≦p
0≦s≦2
これで下の4つを満たしておけばqはq=3-pによって自動的に決まっていくから、後はqのことは考えなくてよくなるねん。
これがほんまに文字消去やねん。
そしたら今度はpを消去するためにpについて整理しよか。
pについて整理するってことはpについて解くようなもんやからな。
q=3-p
2p^2-2(3+s)p+(√3)t+3s=0
max{1,s}≦p≦2
0≦s≦2
これでpが存在するような(s,t)を求めて、解の配置問題に持ち込んどこか。
イメージとしては(s,t)の定義域を求めて、pが二次方程式の解で自動的に決まっていく感じやな。
f(p)=2p^2-2(3+s)p+(√3)t+3s
とおいてy=f(p)がmax{1,s}≦p≦2でp軸と共有点を持てばええやろ。
f(p)=2(p-(3+s)/2)^2+(√3)t-(s^2+9)/2
これで定義域のふるまいと、最大値と最小値考えて定義域の軸との関係で場合分けをしないとあかんから
軸(3+s)/2が1となるのはs=-1,(3+s)/2が2となるのはs=1
max{1,s}が切り替わるのはs=1
軸(3+s)/2が1≦p≦2の中点(1+2)/2と等しくなるのはs=1
と言うことはs=-1とs=1が切りかわりで場合分けするところになりそうやな。
厳密にはsp平面を考えて
右の端点p=2と左の端点p=max{1,s}とその中点p=(左+右)/2の3つのグラフ
軸p=(3+s)/2のグラフを書いて場合分けしたらええねん。
そしたら0≦s≦1で中点≦軸≦右、1≦s≦2で右≦軸ってわかるな。
(i)0≦s≦1のとき
定義域は1≦p≦2
(中点)=3/2≦(s+3)/2=(軸)≦2
よって
最小値(√3)t-(s^2+9)/2≦0
最大値f(1)≧0
これを整理して
-(1/√3)s+4/√3≦t≦(s^2+9)/(2√3)
(ii)1≦s≦2のとき
定義域はs≦p≦2で
(軸)=(s+3)/3≧(1+3)/2=2
だから最小値f(2)≦0
最大値f(s)≧0
これを整理して(√3)s≦t≦(s+4)/√3
(i)(ii)より
-(1/√3)s+4/√3≦t≦(s^2+9)/(2√3) (0≦s≦1)
(√3)s≦t≦(s+4)/√3 (1≦s≦2)
(2)
これであれやな。
後はy軸対称になるはずやから(1)のグラフを描いてy軸で折り返します。
そしたら次は
2、文字固定でやってみよか
t=((2p-3)s+2p(3-p))/√3
max{1,s}≦p≦2
ここまで同じですね。
これでsを固定して
t=1/√3(-2(p-(s+3)/2)^2+(s^2+9)/2)
max{1,s}≦p≦2からsと1との大小関係で場合わけして
(i)0≦s≦1のとき
1≦p≦2で
(軸)=(s+3)/2≧3/2=(中点)
(軸)=(s+3)/2≦(1+3)/2=2
より図から
軸から遠いp=1が最小値、-(1/√3)s+4/√3
頂点で最大値、(s^2+9)/(2√3)
だから
-1/√3+4/√3≦t≦(s^2+9)/(2√3)
(ii)1≦s≦2のとき
s≦p≦2で
(軸)=(s+3)/2≧(1+3)/2=2から
単調増加でp=sのとき最小値t=(√3)s
p=2で最大値t=(s+4)/√3
と言う感じで後は同じやな。
1と2の解き方は、この問題についてはほぼ同じようにはなるな。
最後に3、接線を考える。
こっちは若干怪しいような気もして、1や2の方が満点狙いやすいと思うんけど
3の接線はとにかく瞬殺できるのが強いねん。
0≦p≦2かつ0≦3-p≦2より1≦p≦2で
t=((2p-3)s+2p(3-p))/(√3)でf(s)=((2p-3)s+2p(3-p))/(√3)とおいて
これをpで平方完成するねん。
f(s)=-2/(√3)・(p-(s+3)/2)^2+(s^2+9)/(2√3)
⇔
f(s)-(s^2+9)/(2√3)=-1/(2√3)・(s-2p+3)^2
で右辺が(s-2p+3)^2の因数を持つからst平面において、直線PQ:t=f(s)と二次関数t=(s^2+9)/(2√3)にs=2p-3で接することがわかるねん。
よって1≦p≦2でp動かすと接点のs座標は-1≦s≦1と動くねん。
そうやって接点を-1から1まで動かすように接線を動かしたら出来上がりやな。
こっちはかなり場合分けして処理が面倒な問題でも、瞬殺で終わることがあるねんな。
時間なければ、これで解いてしまってええかもしれん。
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