今から部屋の電気を消して体操座りして東京大学2016年度文系第4問、整数問題の解説をしたいと思います。
[問題]
以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。
(1)nを正の整数とし、3^nを10で割った余りをa_nとする。a_nを求めよ。
(2)nを正の整数とし、3^nを4で割った余りをb_nとする。b_nを求めよ。
(3)数列{x_n}を次のように定める。
x_1=1,x_(n+1)=3^x_n (n=1,2,3,…)
x_10を10で割った余りを求めよ。
[解答と解説]
(1)
典型的な問題やから、やったことある人は多いかもしれんけど
とりあえずn=1,2,3,…って実験していくのがお決まりの処理やな。
10で割った余りと言うことは1の位の数字のことで、1の位の数字に3をかけていったらええわ。
3 3×3=9 3×9=27で7 7×3=21で1 1×3=3 3×3=9…
で周期4で繰り返しやな。
この問題はいつか同じのが出るから、絶対周期があるねんけどな。
と言うことで
kは1以上の整数として
a_n=
3 (n=4k-3)
9 (n=4k-2)
7 (n=4k-1)
1 (n=4k)
とか
3 (nは4で割った余りが1)
9 (nは4で割った余りが2)
7 (nは4で割った余りが3)
1 (nは4で割り切れる)
って書いたオッケーやな。
a_n=5-3cos(kπ/2)-3/2・sin(kπ/2)-cos(3kπ/2)+1/2・sin(3kπ/2)
と答えろと言うわけではないからな。
そんなん答え方するやつおらへんわ！
わざわざ、こんなネタを書くために関数考えるなって言う話やな。
ちなみにもしちゃんと証明するって言うことになると合同式を使うと便利やな。
合同式については知らない人は昔書いた合同式≡と剰余類の説明と応用問題を読んでくれ。
aとpが互いの素の場合は
a^n≡1 (mod p) となることが出来てこの最小のnが周期になるねん。
mod 10で考えると(10で割った余りで考える)
3^1≡3
3^2=9≡9
3^3=27≡7
3^4=7×3=21≡1
で1が出てきたから
3^(n+4)=3^n・3^4≡3^n・1=3^n
って4つごとに同じ値って言えるから
これでa_1=3とa_2=9とa_3=7とa_4=1で
a_(n+4)=a_n
が言えると
a_5=a_1=3
a_6=a_2=9
a_7=a_3=7
a_8=a_4=1
って全部決まっていくねん。
a_1とa_(n+1)=f(a_n)と言う漸化式があれば全部値が決まるのと同じやと思ってください。
(2)
さっきの証明と同じようにやればええわ。
今度は4を法をとした剰余類mod 4で考えて
3≡3 (mod 4) よりb_1=3
3^2=9≡1 よりb_2=1
でもう1が出たから
3^(n+2)=3^n・9≡3^n・1=3^n より b_(n+2)=b_n
これで決まりやな。
b_n=
3 (n=2k-1)
1 (n=2k)
(3)
ようわからんから、まずは実験してみよか。
mod 10で考えて
x_1=1
x_2=3^1=3
x_3=3^3=27≡7
x_4=3^3^3=3^27は27は4で割った余りは3なので(1)から7
x_5=3^3^3^3=3^3^27=3^7625597484987
って計算していくと…
ﾆﾌ ﾄﾞﾆｭ
ｻﾌｱｸ
ﾊﾞｲｱ?
って転生することになります。
これ恐すぎるやろ。
そこで(2)を使うはずやからな。
まだ(1)しか使ってないやろ。
3^27って3の奇数乗やからな
(2)から4で割った余りは3やろ。
そしたら3^(3^27)は指数のところが4で割った余りは3と言うことで
これで(1)から10で割った余りは7になるねん。
もう解答はこういう感じでええし、そうするべきやと思うねんけどな。
x_nは3^kの形で奇数やから
x_(n+1)=3^x_nは4で割った余りは3
x_(n+2)=3^x_(n+1)は指数のとこが4で割った余りは3より10で割った余りは7になるとかな。
必要はないねんけど、そこを一般的に書くと
x_n=3^x_(n-1)より
a_(x_(n-1))=a_(3^(x_(n-2)))=a_(b_x(n-2))
(n≧2)って言うことになるから
x_8=3^x_7よりx_8は奇数で
x_10=3^x_9を10で割った余りa_(x_9)は
a_(x_9)=a_(3^(x_8))=a_(b_(x_8))=a_3=7
やな。
これも整数問題勉強するのに良さそうな問題やな。
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